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Programma del corso (9CFU)
- Nozioni di base.
Elementi di logica: proposizioni, predicati, connettivi logici,
quantificatori, tecniche dimostrative. Il principio di induzione.
- Insiemi Numerici.
I numeri reali: ordinamento dei numeri reali e completezza.
Modulo di un numero reale, disuguaglianza triangolare. Intervalli.
Insiemi limitati. Massimo e minimo di un sottoinsieme dei numeri
reali. Estremi inferiore e superiore.
- Numeri complessi.
Definizioni. Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale e
loro proprietà Il piano di Gauss. La formula di Eulero. Radici
n-esime. Risoluzione di equazioni algebriche in campo
complesso.
- Funzioni di una variabile reale.
Concetto di funzione reale a variabile reale. Immagine e
controimmagine. Dominio, codominio, insieme immagine. Grafico di
una funzione. Funzioni matematiche elementari. Funzioni
simmetriche, monotone, periodiche. Composizione di funzioni e
funzione inversa. Funzioni limitate, massimo, minimo, estremo
superiore e inferiore di una funzione.
- Successioni numeriche.
Definizioni. Successioni monotone. Successioni limitate,
sottosuccessioni.
- Limiti di successioni e funzioni.
Limiti di successioni. Limiti di funzioni. Limiti destro e
sinistro. Algebra dei limiti. Limiti di funzioni monotone. Teoremi
di unicità, di permanenza del segno, del confronto, dei due
carabinieri. Forme indeterminate e confronti asintotici. Limiti
notevoli. Asintoti di funzione.
- Continuità.
Continuità: definizione di funzione continua. Somma, prodotto,
quoziente e composizione di funzioni continue. Analisi dei punti di
discontinuità. Teorema di sostituzione. Teorema di Weierstrass.
Proprietà delle funzioni continue.
- Serie numeriche.
Definizioni; serie a termini positivi e relativi criteri di
convergenza; convergenza semplice ed assoluta; serie a termini di
segno alterno, criterio di Leibniz
- Calcolo differenziale.
Definizione di derivata. Legame con la continuità. Derivata di
funzioni elementari. Derivata destra e sinistra. Punti di non
derivabilità. Teoremi sul calcolo delle derivate. Teoremi di Rolle,
Cauchy e Lagrange. Punti stazionari: classificazione. Massimi e
minimi relativi. Legame tra monotonia e segno della derivata prima.
Concavità e convessità e legame col segno della derivata seconda.
Studio di funzione. Teorema di de l'Hopital.
- Sviluppi di Taylor.
Derivate di ordine superiore. Approssimazione di funzioni
mediante polinomi. La formula di Taylor con il resto di Peano e
Lagrange.
- Integrali.
Definizione e proprietà fondamentali. Integrabilità di alcune
classi di funzioni. Teorema della media. Teoremi fondamentali del
calcolo integrale. Primitive. Integrazione per sostituzione, per
parti. Integrazione delle funzioni razionali fratte.
- Integrali impropri.
Definizione e criteri di convergenza.
- Equazioni differenziali.
Definizioni. Risoluzione di equazioni a variabili separabili,
equazioni differenziali lineari del primo ordine, equazioni
differenziali lineari a coefficienti costanti.
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