Prof. Paolo Secchi
Anno Accademico 2010/2011.
 

Scopo del corso: Il corso vuole introdurre le principali nozioni relative ad alcuni argomenti dell'Analisi Matematica, che lo studente deve possedere per poter affrontare i corsi applicativi più avanzati nell'ambito dell'Ingegneria delle Telecomunicazioni. Il corso si propone di presentare alcuni complementi formativi dell'analisi matematica, come strumento di lavoro dell'Ingegnere. Argomenti trattati contemplano l'introduzione all'integrale di Lebesgue e gli integrali multipli e di superficie, la teoria delle distribuzioni, la teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali, con esempi di equazioni e loro applicazione ad esempi fisici, proprietà delle soluzioni e metodi di risoluzione analitica.

Prerequisiti: Capacità che lo studente deve aver acquisito prima di affrontare il corso: Conoscenza del calcolo differenziale per le funzioni di una o più variabili reali, come sviluppate nei corsi di Analisi Matematica 1 e 2.

Articolazione e contenuti del corso: il corso ha la durata di un semestre e alterna lezioni teoriche ed esercitazioni. Gli argomenti affrontati sono i seguenti:

1. Integrali multipli: definizioni, formule di riduzione, cambiamento di variabili. Formula di Gauss-Green nel piano. Gli operatori rotore, gradiente e divergenza.

2. Superfici, area di una superficie, integrale superficiale di una funzione. Teorema della divergenza. Superfici con bordo, superfici orientabili. La formula di Stokes.

3. Introduzione dell'integrale di Lebesgue e principali proprietà. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Richiami su spazi normati ed euclidei. Spazi di funzioni integrabili, spazi Lp. Serie di Fourier e sistemi ortonormali. Spazi di Banach e di Hilbert.

4. Distribuzioni: funzioni localmente integrabili; definizione di distribuzione come funzionale lineare e continuo; derivate in senso distribuzionale; distribuzioni temperate.

5. Trasformata di Fourier in L1 e in L2; teorema di Plancherel; trasformata di Fourier nell'ambito delle distribuzioni.

6. Convoluzione: definizione e relazione con la trasformata di Fourier.

7. Esempi di equazioni alle derivate parziali del secondo ordine e classificazione. Modelli matematici per alcuni fenomeni fisici. L'equazione delle onde, del calore e di Laplace.

8. La formula di D'Alembert per la corda vibrante. L'equazione delle onde in Rn; formule di rappresentazione della soluzione.

9. Il metodo di Fourier di separazione delle variabili. Risoluzione dell'equazione della corda vibrante e proprietà della soluzione.
 

Modalità d'esame: L'esame prevede una prova scritta ed una prova orale. In sostituzione, potranno essere previste delle prove scritte in itinere.

Testi consigliati:

G. Bonfanti, P. Secchi,  Lezioni di Analisi Matematica 2, Snoopy, in preparazione.

P. Secchi,  Lezioni di Analisi Matematica D, Cartolibreria Snoopy, Brescia, 2008.

P. Secchi,  Equazioni alle Derivate Parziali, Cartolibreria Snoopy, Brescia, 2008.