Raggruppamento Scientifico-Disciplinare: MAT/05.

Obiettivi del corso: Il corso si propone di presentare i principali aspetti della teoria delle equazioni alle derivate parziali. Oltre ai più importanti esempi di equazioni e ad esempi fisici descritti da esse, verranno studiate le più importanti proprietà delle soluzioni ed introdotti diversi metodi di risoluzione analitica.

Prerequisiti. Capacità che lo studente deve aver acquisito prima di affrontare il corso:
Conoscenza del calcolo differenziale per le funzioni di una o più variabili reali, come sviluppate nei moduli di Analisi Matematica A, B e Complementi di Analisi Matematica.

Modalità d'esame: L'esame è costituito da una prova orale. Sono previste anche tre prove scritte in itinere.

Programma del Corso
1. Introduzione: motivazioni, esempi, definizioni preliminari.

2. Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del secondo ordine. Modelli matematici per alcuni fenomeni fisici.

3. Richiami su spazi normati ed euclidei. Introduzione dell’integrale di Lebesgue e principali proprietà. Spazi di funzioni integrabili. Serie di Fourier e sistemi ortonormali. Spazi di Banach e di Hilbert. Derivate generalizzate. Spazi di Sobolev.

4. L'equazione delle onde: la corda vibrante, vibrazioni sonore in un tubo aperto, l’equazione delle onde in R^n e formule di rappresentazione. Metodo della discesa. Il metodo di Fourier di separazione delle variabili. Oscillazioni di una membrana circolare e funzioni di Bessel. Il problema non omogeneo. Principio di Duhamel.

5. Trasformata di Fourier e prodotto di convoluzione. Risoluzione delle equazioni delle onde, di Poisson e del calore nello spazio e nel semispazio.

6. L'equazione di Laplace e di Poisson, formulazione del problema di Dirichlet e di Neumann. Risoluzione dell’equazione di Laplace nel cerchio mediante il metodo di separazione delle variabili. Proprietà delle funzioni armoniche. Soluzione del problema di Dirichlet nella palla e nel semispazio.

7. Soluzioni deboli di equazioni ellittiche del secondo ordine. Lemma di Lax-Milgram. Esistenza di soluzioni e regolarità. Il metodo di Galerkin.

8. Equazioni paraboliche. Problemi al contorno per l’equazione del calore. L'equazione del calore nello spazio, su un segmento e in un dominio multidimensionale. Soluzioni deboli. Il metodo di Galerkin.
 
 

Testo consigliato:

P. Secchi,  Equazioni alle Derivate Parziali, Cartolibreria Snoopy, Brescia, 2008.
 
  Programma svolto nell'A.A. 2008/09